Matriz de covariância

Matriz de covariância é uma tabela quadrada que reúne variâncias na diagonal e covariâncias entre pares nas demais células. Ela permite combinar pesos e estimar a variância de uma carteira por w'Σw.

Definição simples

Cada linha e coluna representa uma série. A célula A,B contém a covariância entre A e B. Como cov(A,B) é igual a cov(B,A), a matriz é simétrica. A diagonal compara cada série consigo mesma e contém sua variância.

Uma matriz de correlação tem estrutura parecida, mas diagonal igual a 1 e pares padronizados entre −1 e +1. Para convertê-la em covariância, são necessárias as volatilidades individuais compatíveis.

Como funciona

Multiplique a matriz pelo vetor de pesos e, depois, pelo vetor transposto. O resultado é a variância agregada. Validar um caso de duas posições manualmente ajuda a conferir ordem e unidades.

O número de pares cresce rapidamente. Dez posições geram 45 covariâncias distintas; cinquenta, 1.225. Poucas observações, dados faltantes e iliquidez tornam a estimativa instável. Mais colunas não garantem mais informação.

Fundos e ETFs exigem perímetro claro. Matriz das cotas mede veículos; matriz dos componentes investiga exposições, mas não deve contar ambos como patrimônio adicional.

Exemplo hipotético

Uma matriz de três ativos possui três variâncias na diagonal e três pares únicos repetidos de forma simétrica. Se os pesos estiverem na ordem B, A, C, mas a matriz estiver em A, B, C, a conta sairá errada sem necessariamente gerar aviso.

Teste também se as variâncias são não negativas e se a matriz é numericamente coerente. Pequenos problemas podem resultar de arredondamento; problemas grandes indicam dados ou método incompatíveis.

A matriz deve ser estimada com observações comuns. Usar pares com datas diferentes em cada célula pode quebrar a coerência do conjunto, mesmo que cada covariância pareça válida separadamente. Registre como ausências foram tratadas e faça verificações numéricas antes de usar o resultado.

Mais ativos aumentam a necessidade de observações e controle. Métodos avançados de estabilização existem, mas trazem premissas próprias. Para educação, uma matriz menor, transparente e acompanhada de sensibilidade costuma comunicar melhor que uma otimização opaca.

Erros comuns e limites

• Trocar a ordem dos pesos.
• Misturar correlação e covariância.
• Usar janelas ou moedas distintas.
• Ignorar observações ausentes.
• Exibir precisão maior que a amostra suporta.
• Tratar a matriz histórica como fixa.

Perguntas práticas

A matriz prevê o próximo período?

Não. Ela resume relações estimadas em uma amostra.

Preciso abrir fundos?

Depende da pergunta; declare se mede veículos ou exposições subjacentes.